撰文：雷達熊，DODO 創始人
一個有效的市場包含巨量資訊，這些資訊承載了市場對價格的判斷，但是鏈上計算資源有限，要在鏈上實現一個高度靈活的市場，就好像要把大象塞進冰柜。
把大象塞冰柜這種事情并不罕見，互聯網歷史上已經有過幾次壯舉。例如圖像壓縮，音頻壓縮。
壓縮的本質是提取最重要的特征，拋棄不重要的細節資訊，
那么，一個市場最重要的特征是什么，是流動性。流動性可以表示為一張深度圖。
從下圖我們看到，深度圖可以抽象為兩個三角形，而描述這兩個三角形，只需要中間價和斜率即可，
我們盯住右邊的賣盤梯形深度，它的最大特點是，被買走的 Base Token 越多，價格越高。因此，這種線性深度可以表示為
其中 i 是 第一個參數 「mid price」，k 是第二個參數 「slope」。
B 表示當前的 Base Token 庫存，B0 表示初始 Base Token 庫存，(B0-B)/B0 用來表示有百分之多少的 BaseToken 被消耗掉了。
這一公式可以使得價格隨著 Base Token 被賣出的數量線性增長。
但是，線性真的是描述流動性最好的方法嗎？并不是，線性描述有兩個局限：
- 真正的市場，大部分流動性集中市場中間價附近，而線性描述并沒有反應這種不平衡的分布，
- 即使價格遠遠偏離市場中間價，也應該有流動性，而線性描述下的價格是有上下限的。
我們為價格曲線引入了非線性。在不擴充參數的前提下，使深度分布更符合市場規律，靈活度更高。
最簡單的非線性解決方案，就是使用乘法而非加法。
這個公式可以滿足隨著 B 的減小，P 不斷增大，直至無窮大，但是要怎么把斜率的影響加進去呢？
這就需要對 B0/B 這一項做改造了，B0/B≥1，我們用一個參數對其進行縮放，在保持此數值大于等于 1 的同時，可以控制它「大于 1 的程度」，
上式中，k 的取值范圍是 [0,1]，決定了價格的斜率，
- 當 k=0 時，價格完全不變
- 當 k=1 時，價格斜率退化到上一個版本的公式
- k 越大，價格變化越敏感，k 越小，價格變化越不敏感，
但是還有一個小問題，這里的 P 是邊際價格，對邊際價格的積分才是用戶需要支付的資產數量。上式中，B0/B 這項積分后出現了對數函數，這會使后續計算變得很復雜。為了避免這一麻煩，我們再進一步：
在 B0/B 外面加一個平方項，這樣積分后就變成了一個簡單的除法，
令人驚嘆的是，當 k=1 時，這條曲線正是 AMM 所定義的 bonding curve，這種巧合使我們相信，這是一套更加觸及市場本質的算法。
同理，對于左半邊的深度圖，我們用對稱的做法，將 base token 替換為 quote token，將乘法替換為除法：
我們將左右兩邊的深度圖結合起來，就得到了 PMM 算法的完全版本，整理一下：
PMM 算法是對 Orderbook 市場的高度壓縮，參數簡單，卻極度靈活。
這使得我們在冰柜如此狹小的空間內，擁有了堪比大象的能力。
下面我來列舉，通過調整參數和充提規則，這套算法可以實現哪些 use case。
Use Case 1 跟隨外部市場價格的主動做市
這一 use case 的應用場景是擁有巨大外部市場的主流幣，例如 ETH BTC 等
PMM 可以實現主動調整盤口價格，減少 IL，獲得比 AMM 更高的資金利用率，并且持有單幣種就能提供流動性
設置如下：
- 將價格 i 設置為外部市場價格
- 將 k 設置為小于 1 的數字
- 允許任何人單邊充提
這一 Use Case 我們稱之為 DODO Classic Pool。
Use Case 2 輕資本需求的自動做市算法
這一 use case 應用于沒有主觀定價能力的長尾幣市場，將定價權完全交給 taker
通常來講，長尾幣都是新資產，在 AMM 框架下沒有足夠的賣盤流動性，因而導致其流動性長期匱乏
設置如下：
- 將價格 i 設置成起始發行價
- 任意設置 k
- 第一筆充值可以以任意資產比例，且不改變市場價
- 后續充值（或提現）必須按照當前資產比例同時操作兩種資產
這一 Use Case 我們稱之為 DODO Vending Machine。
Use Case 3 完全自由的做市算法
這一 use case 為那些雄心勃勃，想要大展拳腳的做市商準備。（做市商也可以是項目方或個人）
在此 use case 下，資金池的全部資金都歸做市商所有。所有參數都可以調整，做市商可以根據他的判斷為資產靈活定價，同時做市商可以任意充提單一幣種，而不影響市場價格，
例如：
- 在 ETH=700USDT 附近做市，使用很小的 k 獲得非常有競爭力的流動性，并賺取大量手續費，當察覺到 ETH 有上漲預期時，撤出 ETH 庫存以減少單邊風險，但這一操作并不削弱買盤流動性。
- 新資產發行項目方只提供代幣而不提供資金，在 1$ 開始銷售代幣，為了讓更多人以合理價格買到代幣，設置了較小的 k，使得代幣上漲溫和，隨后項目方發現需要使用資金，則可以直接提出資金池中的資產，而不損害賣盤流動性，即用戶仍然可以買到大量廉價代幣。
設置如下：
- 只有做市商能充提，允許單幣種操作
這一 Use Case 我們稱之為 DODO Private Pool，
Use Case 4 流動性眾籌
我們可以將新資產發行分為兩階段：
- 不開啟現貨交易，所有參與發售的人都以相同的價格獲得代幣
- 以上一階段的結束價格開啟現貨交易，使用上一階段剩余的代幣和資產建立 DODO Vending Machine
這一 Use Case 我們稱之為 CrowdPooling，
Use Case 5 退化為 AMM
當滿足以下條件時，PPM 算法表現和 AMM 相同。
- 設置 k=1
- 必須按照當前價格比例同時充提兩種資產
這也意味著，AMM 是 PMM 的一種特殊情況。推導過程如下：
AMM 的價格公式是 xy = k，其中 k 是常數，x、y 則分別代表兩種代幣的數量。為了避免字母上的歧義，我們把 AMM 公式中的恒定乘積定義為Const，并將其改寫為 y=Const/x，
其中 y 代表 quote token 庫存，x 代表 base token 庫存，價格可以寫為對 y 求導（注意這里要加絕對值，因為價格是正數），
接下來回到 k=1 的 PMM 公式，我們可以將其寫成：
我們發現，PMM 價格公式的分子上為常數，分母為 base token 的庫存，只要令
AMM 的定價公式，與 PMM 的定價公式就一致了！
Use Case 6 穩定幣交易
設置如下：
- i=1
- k=0.001 （這個值越小，越接近穩定幣剛性兌換）
算法表現可以與 curve 相同，并且更靈活，可以比 curve 更接近剛性兌換，或更接近 AMM，
