最近研究了下零知識證明算法-PLONK，肚子里的墨水又增加了，借此記錄學習成果與心得體會 — ZkSwap小白，
現狀
近些年，各種新的零知識證明算法層出不出，各有各的特點，各有各的優勢。借用V神系列文章里的一張圖來簡單呈現下當前的零知識證明算法現狀，
從圖中可以簡單總結出以下幾點：
- 理論上安全性最高的是STARKs算法，不依賴數學難題假設，具有抗量子性；
- Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;
- PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述兩者之間；
- 其他的這里不做過多闡述，如想了解零知識證明更多資訊，可參考鏈接；
對于SNARKs算法，繞不開的一個點就是中心化的Trust Setup，也稱之為CRS(the Common Reference String)，而無論是PGHR13, Groth16,還是GM17算法，它們的CRS都是一次性的，不可更新的。即：不同的問題將對應著不同的CRS，這在某些場景下，會變得比較麻煩，這些存在的問題，變了PLONK，SONIC這類算法的一個優勢，它們算法雖然也需要中心化的可信設置，但是它的CRS具有一定的普適性，即：只要電路的大小不超過CRS的上限閾值，一些證明問題就可以共用一個CRS，這種CRS稱之為SRS(universal Structured Reference String)，關于SRS的定義，詳細的可參考SONIC協議里的第3小節。PLONK算法繼用了SONIC算法的SRS的思想，但是在證明的效率上，做了很大的提升，接下來，讓我們詳細的介紹下PLONK算法的具體細節，主要從下面四個小節去分享：
- 電路的設計 — 描述PLONK算法的電路的描述思想；
- 置換論證或者置換校驗 — 復制約束，證明電路中門之間的一致性；
- 多項式承諾 — 高效的證明多項式等式的成立；
- PLONK協議 — PLONK協議剖析；
電路
PLONK算法電路的描述和SONIC算法一直，具體的過程可以參考李星大牛的分享，已經寫的比較詳細且易懂，在這個小篇幅里，我想主要分享下我自己的兩點想法：
- 無論是什么樣的電路描述方式，電路的滿足性問題都要歸結于2點，門的約束關系和門之間的約束關系成立；
- 在SNARKs系列的算法里，電路的描述單元都是以電路中有效的線為基本單元，具體的原理可以參考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，電路的描述單元都是以門為基本單元。
這兩種電路的不同描述方式帶來了一定的思考，那就是，之前在研究SNARKs算法時，我們都已經相信一個事實，“多項式等式成立，就代表著每個門的約束成立”，然后推斷，整個電路邏輯都是成立；在這個過程中，并沒有額外的去證明門之間的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要證明多項式等式成立外，還要額外的用置換論證的數學方法去證明門之間的約束關系，即復制約束。為何會有這樣的區別？希望有心的讀者能一起在評論區探討這個問題？我個人理解是因為電路的描述方式的不同：
- PLONK算法里，電路描述的單元是門，它為每個門定義了自己的L,R,O，因此需要證明門之間的一致性；
- SNARKs算法里，電路描述的單元是線，門與門之間的值用的是同一個witness，因此不用額外證明一致性；
置換論證
前面我們說過，在PLONK算法里，需要去證明門之間的約束關系成立，在做具體的原理解釋之前，我們先簡單的過一下PLONK協議的過程，如下圖所示：
可描述為：
- 根據電路生成三個多項式，分別代表這電路的左輸入，右輸入，輸出；
- 利用置換校驗協議，去證明復制約束關系成立；
- 步驟3和4，校驗門的約束關系成立。
其中第1點已經在電路小節里闡述過了，接下來，將詳細的講解多項式置換校驗的原理，先從簡單的場景去講解：
（1）單個多項式的置換校驗
其實就是證明對于某個多項式f，存在不同的兩個點x,y，滿足f(x) = f(y)。下面來看具體的原理：
上圖中加入了一個正例P，一個反例A，方便大家理解置換校驗的原理。有幾點需要解釋的是：
- 而經過仔細剖析Z的形式，不難發現，Z(n+1) 其實就是兩個函數所有值的乘積的比值(不知是否等同于V神文章里的坐標累加器？)。理論上是等于1。因此，我們需要設計這樣的一個多項式Z，需滿足：
deg(Z) < nZ(n+1) = 1
- 乘法循環群剛好可以滿足這個條件，如果設計一個階為n的一個乘法循環群H，根據群的性質可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在設計Z時，會保證Z(g) = 1；上圖中的自變量的取值也將從{1…n}變成{g…g^n}。所以在上圖中驗證的部分，a其實已經換成了群H里的所有元素，
- 根據論文中的協議，多項式Z是會發給可信第三方I 驗證方V會從I處獲取到多項式Z在所有a處的取值，然后依次校驗。
下面具體看一下論文中的定義：
從定義中可以看出：多項式f, g在[n]范圍內具有相同的值的集合；下面看一下論文中具體的協議部分，結合上述解釋的3點：
說明：圖4中的f,g對應圖3中的f。即f,g是同一個多項式，其實只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一個多項式。圖3是一個特例而已。
（2）跨多項式的校驗
其實就是證明對于某個多項式f，g，存在兩個點x,y，滿足f(x) = g(y)。與（1）存在兩處不同：
- 多個多項式；
- 不強制x,y的關系，即也可以等，也可以不等；
有了(1)小節的基礎，這次我們先看一下相關的定義：
從定義可以看到，這次是兩個多項式集合見的置換校驗算法。從標注的部分可以看出：
- 兩個多項式集合仍然具有相同的值的結合；
- 為了區分集合里的多項式，自變量的索引得區分開來；
因此，可以想象的到，如果存在兩個多項式f,g，想要證明f(x) = g(y)，那么根據以上描述可以判斷{f1,f2} = {f,g} = {g1,g2}。也保證了上述第1點的成立。
下面我們看一下具體的原理：
和(1)小節相比，證明方P增加了些工作量，驗證方V工作量不變，結合上述描述，也能很容易的理解其數學原理。
說明：至此，其實我們已經慢慢的接觸到PLONK算法的核心了，前面我們講到，電路的滿足性問題除了門的約束關系還有門之間的約束關系，
比如一個輸入x，它既是一個乘法門的左輸入，又是另外一個乘法門的右輸入，這就需要去證明L(m)=R(n)，這就是跨多項式的置換校驗，
下面再給出論文里的協議內容：
至此，本篇文章已經描述了，在PLONK算法里，電路的設計以及復制約束的成立驗證兩大部分，接下來，將會另起一片文章，去分享門約束的成立和整個協議的具體步驟。
