ZKSwap團隊解讀零知識證明PLONK協議

在上一篇 ZKSwap團隊解讀零知識證明PLONK電路 主要描述了PLONK協議里的一個核心部分，用置換校驗的方法去證明電路門之間的一致性；接下來，將繼續分享如何證明門的約束關系的成立，以及整體的協議剖析，

門約束

舉個簡單的例子，假如存在一個電路，電路中僅有3個乘法門，對應的約束如下：

L1 * R1 – O1 = 0

L2 * R2 – O2 = 0

L3 * R3 – O3 = 0

進行多項式壓縮：定義多項式函數L(X)、R(X)、O(X) 滿足：

L(1) = L1, R(1) = R1, O(1) = O1

L(2) = L2, R(2) = R2, O(2) = O2

L(3) = L3, R(3) = R3, O(3) = O3

此時，定義新的多項式函數F(X)，令F(X) = L(X) * R(X) – O(X)

則有：

F(1) = L(1) * R(1) – O(1) = 0

F(2) = L(2) * R(2) – O(2) = 0

F(3) = L(3) * R(3) – O(3) = 0

也就是表明：如果多項式函數F(X)在X=1、2、3處有零點，則說明門關系約束成立，

多項式函數F(X)在X=1、2、3處有零點則表明多項式F(X)可以被(X – 1)(X – 2)(X – 3)整除，為了和論文一致，我們把這個多項式函數設置成Z(X)，即：

F(X) = T(X) * Z(X) ==> T(X) = F(X) / Z(X)

如果能證明T(X)是一個多項式，則說明多項式F(X)與Z(X)有相同的零點，進而說明門約束關系成立，

一般過程應該如下：

1. P計算F(X)并把F(X)發送給V；
2. V根據Z(X)直接校驗F(X) / Z(X)

但是如此過程存在兩個問題，一個是復雜性問題，假如F(X)的階為n，那通信復雜度就是O(n)；而是安全性問題，多項式F(X)完全暴露給V。

那應該如何解決這兩個問題呢？最佳的答案可能就是：多項式承諾

多項式承諾

什么是多項式承諾？就是證明方P用一個很短的數據來代表一個多項式F，這些很短的數據可以被驗證方V用來驗證多項式F在某一點的值確實為證明方P聲稱的值z，

具體看一下論文里的定義：

由圖可知：

1. Setup：初始化，生成計算多項式承諾需要的一些必備參數；
2. Commit：計算多項式承諾，其結果是一個值；
3. Open：返回與多項式承諾對應的多項式函數；
4. VerifyPoly：驗證多項式承諾是否和多項式函數一致；
5. CreateWitness：證明多項式函數在某一點的值是否是證明方P聲稱的值，具體的數學方法就是：判斷多項式是否能被整除，即：
6. VerifyEval：驗證方V驗證多項式函數在某一點的值是否是證明方P聲稱的值，具體的數學方法是：利用雙線性配對驗證其數學乘法邏輯關系，

繼續回到我們上面的問題：

證明方如何證明：T(X) = F(X) / Z(X)，我們再簡化一下場景，就令Z(X) = X – 1，則:

T(X) = F(X) / (X – 1) ==> T(X) * (X – 1) = F(X) ==> T(X) * X = F(X) + T(X)

對應多項式承諾的協議可知：證明方P其實是想證明多項式函數F(X)再X = 1處的值為0，因此根據協驗證方只需要證明：

e(Commit(T(x)), x*G) =？ e(Commit(F(x)) +Commit (T(x)), G) (雙線性配對的性質)

可以看出，利用多項式承諾的數學工具，既可以實現復雜度的優化，又可以實現隱私保護，

協議

接下來分析一下完整的PLONK協議：

Relation

上圖表示了PLONK算法里，要證明的一種關系，需要說明的是：

1. w 代表著電路里的輸入、輸出，總共3n個，n是電路里乘法門的數量，每個門都有左輸入，右輸入和輸出，因此w總共有3n個；
2. q* 代表著選擇向量，它的取值對應這這個是乘法門，還是加法門等類似的約束類型
3. σ 代表著置換多項式，其表示門之間的一致性約束索引
4. 倒數第一個公式代表 門之間的約束成立
5. 倒數第二個公式代表 門的約束關系成立

CRS & P_Input & V_Input

上圖表示了PLONK算法里的CRS設置，以及證明方P和驗證方V的一些輸入，需要說明的是：

1. 整個協議都是基于多項式的，因此需要構建對應的多項式形式。
2. 多項式σ的階是3n的，由于和多項式承諾相關的CRS最高的階位n+2，因此需要把σ拆分成3個多項式S,分別記錄每個多項式的置換關系(L、R、O);
3. 為了減少通信復雜度和保護隱私，協議基于多項式承諾構建，因此驗證方V的輸入都是承諾值。

Prove

上圖表示了PLONK算法里證明方的一些操作，需要說明的是：

1. b1…b9是隨機數，從用法看是為了安全，但是我暫時也沒明白，不加這個隨機數，又會有什么安全問題？
2. a(X)、b(X)、c(X)分別是代表了電路里的左輸入，右輸入和輸出
3. [a]、[b]、[c]表示多項式的承諾值，參考多項式承諾小節里的承諾計算方法

上圖表示了PLONK算法里證明方的一些操作，主要是置換校驗，參考第一篇的置換校驗的協議過程，生成多項式z(X)，需要說明的是：

1. β和ϒ都是用來生成置換校驗函數的參數，詳見第一篇里f(x)和g(x)的生成過程；
2. z(X)的生成方式對應置換校驗里跨多項式的生成過程，Li(X)為拉格朗日多項式基，性質滿足，盡在x=i的時候為1，其他為0；
3. 注意區分ω和w，ω是群H的生成元，是多項式的自變量的取值，w是電路的左輸入，右輸入和輸出，是多項式L,R,O在在群H上的取值，

上圖表示了PLONK算法里證明方P的一些操作，主要是把門約束和門之間的一致性約束組合到一起，通過α，需要說明的是：

1. 根據前面的描述，門約束多項式和一致性約束多項式在群H上的所有元素都是取值為0的，因此都會被多項式ZH(X)整除，等同于上面所述的T(X);
2. 因此，證明方只要能證明整除的結果的確是多項式，那就能證明，門約束多項式和一致性多項式在群H所有元素上取值為0，即所有約束關系成立，即電路邏輯成立；
3. 可以知道的是t(X)的階最高為3n，但是用于計算承諾的CRS只到了n的級別，因此需要把多項式t(X)拆分，然后單獨計算承諾值。

上圖表示了PLONK算法了證明方P的一些操作，主要根據多項式承諾的協議，前面P算出了多個多項式在點x=z處的值是多少，現在要用多項式承諾協議去證明，這些計算是正確的，需要說明的是：

1. 為了減少驗證方V的操作復雜度，t(X)的分子部分r(X)在x=z處的值，P計算好，然后驗證方直接驗證，其他的操作類似；
2. v的值看起來是為了更安全；
3. Wz(X)對應多項式協議里的CreateWitness操作，證明這些多項式r(X),a(X),b(X)等在x=z處的值確實等于r,a,b等，對Wzw(X)同理，并返回承諾值，

Verify

至此，證明方P的所有操作都完事了，接下來都是驗證方V的操作。

上圖表示了PLONK算法里驗證方V的一些操作，主要重新生成相關的參數，確保證明方P沒有作惡。需要說明的是：

1. 從輸入看，比較清晰，就是一些公開的輸入和證明方P的證明輸出；
2. 根據輸入，生成置換校驗過程中需要的一些參數

上圖表示了PLONK算法里驗證方V的一些操作，對于一些公開的，并且計算復雜度很小的多項式，其在x=z處的值還是需要自己計算，更為方便，需要說明的是：

1. 根據證明方P的過程來看，驗證方V的核心工作就是驗證兩個多項式承諾；
2. 兩個多項式承諾驗證需要兩個配對，可以通過一個參數組合成一個配對，即μ；
3. 在驗證前，先計算Wz(x)，Wzw(x)的分母在x=z處的值，兩部分，減數和被減數，分別對應[F]、[E]。μ作為系數的，就是對應Wzw(X)多項式的，
4. 最后通過一個雙線性配對操作完成兩個多項式承諾的驗證，

結束

至此，PLONK算法的協議原理已全部分享完成，公式很密集，但是細分下來，又很有層次感。能堅持看完，已實屬不易。