有沒有哪個函數的存在，可以推翻一些看似正確的數學結論？

先說一個命題，開啟上述問題的回答。

高等數學中有一個重要命題：函數若在某點可導，則必在該點連續，反之不然。

這個命題，揭示了連續與可導的關系，即連續是可導的必要條件，但不充分。

生活中遇到大多數的函數，都具有很好的可導性，或者說，光滑性，因而也具有了連續性。也可以舉出例子，函數雖然連續但不可導，譬如絕對值函數。當然，函數簡單的間斷，肯定破壞了可導性，這一點，容易想清楚，容易想明白。但是，有沒有這樣的函數，它處處連續，但處處不可導？學者自然會提出這樣的問題？很有意思，也很敏銳，思考深刻而獨到。

這個問題太難，頗具挑戰，難到一批大神！

這個時候，一個大神出現了，他就是魏爾斯特拉斯。

魏爾斯特拉斯，德國數學家

卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾斯特拉斯(1815.10.31-1897.2.19)，

德國數學家，被譽為“現代分析之父”。生于威斯特法倫的歐斯騰費爾德，逝于柏林。魏爾斯特拉斯在數學分析領域中的最大貢獻，是在柯西、阿貝爾等開創的數學分析的嚴格化潮流中，以ε-δ語言，系統建立了實分析和復分析的基礎，基本上完成了分析的算術化。他引進了一致收斂的概念，并由此闡明了函數項級數的逐項微分和逐項積分定理。在建立分析基礎的過程中，引進了實數軸和n維歐氏空間中一系列的拓撲概念，并將黎曼積分推廣到在一個可數集上的不連續函數之上。

1872年，魏爾斯特拉斯給出了第一個處處連續但處處不可微函數的例子，使人們意識到連續性與可微性的差異，由此引出了一系列諸如皮亞諾曲線等反常性態的函數的研究。

Weierstrass于1872年利用函數項級數繼波爾察諾之后構造出了一個處處連續而處處不可導的函數，為上述猜測做了一個否定的終結（公式如下）

Weierstrass函數

魏爾斯特拉斯函數的圖形

希爾伯特對他的評價是：“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數學分析建立了堅實的基礎。通過澄清極小、極大、函數、導數等概念，他排除了在微積分中仍在出現的各種錯誤提法，掃清了關于無窮大、無窮小等各種混亂觀念，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦朧思想的困難。今天，分析學能達到這樣和諧可靠和完美的程度本質上應歸功于魏爾斯特拉斯的科學活動”。

Weierstrass的反例構造出來后，在數學界引起極大的震動，因為對于這類函數，傳統的數學方法已無能為力，這使得經典數學陷入又一次危機。但是反過來危機的產生又促使數學家們去思索新的方法對這類函數進行研究，從而促成了一門新的學科“分形幾何”的產生。

嘿嘿，你看到了，一個神奇的函數，顛覆了人們對連續與間斷的認識！