圓周率π有沒有可能根本不是無理數？

根本沒有可能，因為π是無理數，有嚴格的數學證明。

最早，認為π是無理數的是古希臘的亞里士多德，他斷言：圓的周長與直徑不可共度！

所謂，共度，指的是：對于 圓的周長 C 和 直徑 D，存在 某個 長度為 r 的 尺子，分別去測量 C 和 D ，得到的測量結果，都剛好 整數個 r，于是說 r 是 C 和 D 的公共度量數。

C 和 D 可共度，就是 r 存在， 這時， C = a⋅r， D = b⋅r，a，b 為整數，于是 C/D = a⋅r/b⋅r = a/b 為一個有理數；C 和 D 不可共度，則 r 不存在， C/D 不能表示為 a/b ，是無理數。

德國數學家 約翰·海因里希·蘭伯，于 1766年 第一個證明 了π 是無理數，他的證明方法如下：

首先，根據，麥克勞林公式，

我們可以很方便地得到：

于是，

其中，

其中，

其中，

其中，

到這里，規律已經很明顯了！

我們，令 (n ≥ 2, k = k(n) = 2n -1)，

顯然，n = 2, 3, 4 時，即，前面的 θ₂, θ₃, θ₄ 都符合上式！我們來進一步化簡上式：

單看，分子有：

令，m = j + 1，然后再令 j = m，依次代入上式，得到 （令， k₊₁ = k(n+1) = 2(n+1) – 1 = 2n – 1 + 2 = k + 2）：

再看，分母：

令，m = i + 1，然后再令 i = m ，依次代入上式，得到：

然后，有：

其中，

這樣我們就得到了 tan x 的連分式：

然后，我們證明，當 x 是有理數時，tan x 一定是無理數，這里用反證法。

若 x 是有理數，則 x = b/a ，不妨設，b, a 為正整數，且 a > 1，帶入 tan x 的連分式，有：

由于，b² 總保持不變，而 1a, 3a, 5a, 7a, … 一直在增大，于是總存在 k = 2n – 1 使得 ka – b² > 1，于是：

而 k₊₁a > ka 于是 k₊₁a – b² > 1，所以：

于是：

進而得到：

不斷重復，我們可得到：

假設，tan x 是有理數，則 上面的 連分數 都是 有理數，于是，令，

其中， A₀ 和 A₁都是整數， 并且 A₀ > A₁ > 0。

變形上面的等式， 得到，

因為 k，a，b，A₀ ，A₁ 都是整數，所以 令 A₂ = kaA₁ – b²A₀，則 A₂ 也是整數，并且有， A₀ > A₁ > A₂ > 0。

不斷重復上面的過程，我們會得到一個無限的 嚴格遞減 正整數序列：

A₀ > A₁ > A₂ > A₃ > A₄ > … > 0

可是，不管 A₀ 有多大，小于 A₀ 大于 0 的 正整數 總是有限的，不可能存在 一個上面的 無限序列，矛盾！ 故，假設 不成了，這樣我們就證明了：

當 x 是 有理數時，tan x 一定是無理數。

最后，上面命題的逆反命題是：

當 tan x 是有理數時，x 一定是無理數。

而，我們知道 tan π/4 = 1 是有理數，故， π/4 一定是無理數，從而 π = π/4 ⋅ 4，是 無理數 和 非零有理數 之積，是 無理數！

以上是基于初等數學的證明，比較繁瑣，美國數學家 伊萬·尼云，在 1974年，給出了 一個非常優美的證明。

這里，我們先引入 一個多項式 函數。

根據，牛頓二項式定理：

有：

等式兩邊同乘以 xⁿ/n! ，有：

令，t = i + n，再令 i = t，依次代數上式，有：

令，

讓 n ≥ 1， 我們得到 函數：

函數 f(x) 是 多項式，并且有如下特點：

• 由于，cᵢ 是 組合數（或 負組合數）所以 cᵢ 一定是 整數；
• 當 0 < x < 1 時，0 < 1 - x < 1， 0 < xⁿ(1 - x)ⁿ < 1，于是 0 < f(x) < 1/n!；
• 對于所有 k ≥ 0 , f⁽ᵏ⁾(x) 在 x = 0 或 1 時，都是 整數，證明如下：

當 0 ≤ k < n 時，

故 f⁽ᵏ⁾(0) = 0 是整數；當 n ≤ k ≤ 2n 時，

故 f⁽ᵏ⁾(0) = c_k⋅k!/ n! = c_k⋅k⋅⋅⋅(k-n) 是 整數；當 k > 2n 時，

故 f⁽ᵏ⁾(0) = 0 是整數。

由于，

所以，

故 f⁽ᵏ⁾(1) = (-1)ᵏf⁽ᵏ⁾(0) 也是整數。

然后，我們 正式 π 是無理數，因為 如果 π 是有理數，則 π² 有理數 乘以 有理數 還是 有理數，于是 只要 證明 π² 是無理數，可以了。這里使用反證法。

假設 π² 是有理數，則 π² = a/b, 其中 a, b 均為 正整數。利用 f(x) 偶數階導數，定義另外一個多項式：

則：

于是，得到：

接下來是關鍵，考慮：

等式兩邊 除以 π， 有：

等式兩邊，同時 對區間 [0, 1] 定積分，令 該定積分為 S，有，

根據 f(x) 的性質 3，我們知道 F(1) 和 F(0) 都是 整數，故 S 為整數。

另一方面，由于 a, f(x) > 0 ，而 在 區間 (0, 1) 內 sin πx > 0， 所以 πaⁿf(x)sin πx 在 區間 (0, 1) 是正的，故 積分 S > 0。

再根據，f(x) 的性質 2，有，

由于，n! 是比 2aⁿ 增長更快的函數，

所以，總算是存在 足夠大 的 n ，使得 2aⁿ < n!，這時：

由于，0 和 1 之間不存在 整數， 所以 S 不可能 是 整數，這與 上面得到 S 是整數的結論 矛盾，假設不成了，于是 π² 是無理數。

當然，證明π是無理數，還有很多方法，以上 只是最流行的兩種。

（感謝大家閱讀！小石頭數學水平有限，出錯在所難免，歡迎廣大條友批評指正！）