計算機程式又為數學家立功了。
最近，來自美國、加拿大、瑞士的4位數學家，用C++和MATLAB程式解出了一個6元105項方程的59組特殊解。
求解完這個方程，也就證明了“有理四面體”（rational tetrahedra）總共只有59個“特殊”形狀和2個系列，從而解決了一個44年的數學難題，
而提出這一難題的，正是去年因covid19而去世的著名數學家約翰·康威（John Conway）。
△ 59個“有理四面體”單獨解
1976年，康威給出了求解該問題的方程，1995年，兩位數學家找到了其中59組特殊解，但是他們不確定有沒有遺漏，
△有理四面體具有兩組“連續”解和59組單獨解
得益于計算機硬件的發展，現在只用MacBook Pro和幾臺至強CPU電腦，在幾天內就完成了對所有解的搜索。
結果證明，那兩位數學家在20多年前其實已經得到了完整的答案。
什么是有理四面體？
四面體，顧名思義，就是四個三角形圍成的立體圖形。
四面體每兩個面之間都組成一個二面角，四面體有6條棱，因此有6個二面角。
△四面體中有6個二面角（圖片來自Poonen手稿）
有理四面體是指四面體中的6個二面角都是有理數角度（與180°角的比值是有理數）。
就好像三角形的內角和公式數學公式: a+b+c=180°一樣，四面體的6個二面角之間也有一種關系，只不過這種關系要復雜得多。
定義θij為四面體第i個面與第j個面的夾角（顯然θij=θji），那么這6個二面角之間的關系可以行列式表示為：
因為是有理四面體，所以 θij=Qπ（弧度），Q是有理數，
我們把行列式展開后，會得到一個包含17項的方程，而且方程中還有余弦函數，求解難度很大，
但是數學家們想到了一個巧妙的化簡方法，
歐拉公式
接下來，數學家們用到了“最美數學公式”——歐拉公式——來簡化方程。
歐拉公式將復數（實數+虛數）的指數函數與三角函數聯系起來：
i是虛數，即-1的平方根。如果用圖像的方式理解歐拉公式，那就是：
很顯然，無論θ值如何變化，eiθ到0點的距離一定是1，
所以如果我們定義復數：
那么這個復數一定是在以原點為圓心，半徑為1的圓上。
△方程z5=1的5個解都在單位圓上
現在，方程里的三角函數可以用復數來替代了：
這樣，上面的行列式從一個三角函數方程變成了一個多項式方程：
但問題也隨之而來，這個方程總共有105項，而且是一個6元方程！不過好消息是，我們知道這6個未知數都在那個半徑為1的圓上（稱作“單位根”），
巧妙的是，復數zij與x軸的夾角θij正好就是四面體的二面角，因此這些解不僅在圓上，與x軸夾角也必須是π弧度的有理數倍，
1995年，在那個沒有性能強勁PC的年代，來自UC伯克利的Poonen和滑鐵盧大學部的Rubinstein通過插入六個有理數的組合，來猜測這個方程的解，他們總共找到了59組。
這樣做帶來一個問題是：可以找到解，但是不能保證把所有解一網打盡。
一次偶然的碰撞
問題一擱置就是20多年，直到去年3月，Poonen參加了一次講座。
在那一次的講座上，研究數論的數學家Kedlaya介紹了自己的工作：搜索了不同多項式方程的單位根，
這不就和尋找“有理二面體”的問題等價嗎？
Poonen很快就給Kedlaya發郵件，說明自己的來意：你們研究的“正是我在1990年代需要的東西”，
收到郵件后，Kedlaya與另一位研究單位根的數學家Kolpakov取得了聯系。另一邊，Poonen也聯系上了他當年的的老搭檔Rubinstein，
△聯手解決“有理四面體”的四位數學家
四人迅速組團，開始著手工作。
即便現在的計算機性能相比20多年前提升巨大，但想要找到一個6元105向方程的所有有理數解，還是不可能想象的。
必須要把搜索范圍進一步縮小。
首先，他們“化整為零”。
在新論文中他們證明了，這個105項的復雜多項式方程可以用多個更簡單的多項式表示，把這個6元方程轉化成了數百個簡單方程的集合，
尋找這些較簡單方程的單位根，比原方程的搜索范圍小得多。而且由于簡單的方程與復雜的方程之間的對應關系，找到一個方程的根，能幫助找到另一個方程的根。
搜索上限的問題解決了，但搜索的間隔還是太小，搜索空間依然很龐大，工作無法繼續。
然后，他們的第二步是，利用對稱性進一步壓縮搜索空間，
他們知道方程的解具有一定的對稱性，如果在區間的一部分上有解，那么在區間的另一部分上也必須有解。
這樣一來，他們就可以開發出新算法，利用這種對稱性結構來更有效地進行搜索。
經過幾個月的努力，他們完成了任務的分解。除去編程，整個搜索只占用了幾顆酷睿與至強處理器數小時的時間，
計算機終于找到了所有特殊解，真的只有59個！（另外還有兩組“連續”解，）
現在，他們的算法已經公布在GitHub上，
2020年11月，四個數學家把論文發布到arXiv上，44年后終于用計算機的方法完成了康威的愿望，
也算是告慰了康威的在天之靈，他們在論文首頁上寫著：“In memory of John H. Conway”，
后續
解決這個問題后，Poonen本人親自撰寫了一篇科普文章，還和西蒙斯基金會聯合錄制了一段科普視訊，
Poonen列c出了三個重要的四面體問題，最早的要追溯到2300多年前亞里士多德的疑問：什么樣的四面體能堆滿整個空間？
1900年，數學家大衛·希爾伯特給出了另一個疑問：什么樣的四面體可以經過有限次的切割重組為一個等體積的立方體？
至于第三個問題，就是剛剛解決的有理二面體問題。而前兩個問題，人們現在還不知道答案，
如果非要問這個有理二面體有什么實際價值，Poonen給出了一個有趣的案例：
假設我們要在一個星球上建造N個城市，讓這N個城市每兩個之間的距離都是有理數，那么我們應如何規劃？
（注：指城市之間的球面距離與赤道周長的比值是有理數。）
△如何在星球上建造兩兩距離皆為有理數的城市（圖片來自Poonen手稿）
因為有理四面體問題的解決，現在這個問題有兩個方案：
一個是讓赤道上均勻分布幾個城市，再把剩下兩座城市放在南極北極，
而如果想讓城市在星球上分布得更均勻一點，也就是上圖右邊的方法，那么N不能超過30，否則無解。
