德國物理學家普朗克在解釋黑體輻射曲線而得出普朗克定律，從此物理學進入了量子時代，因此普朗克也被公認為“量子理論之父”，盡管他本人在當時仍然是經典的擁護者。作為20世紀最偉大的物理學家之一，普朗克擁有杰出的學術成就，不僅是奠定了量子論的基礎，更是熱力學領域大師，對“熵”等概念的理解超越所處時代。但同樣作為一個愛國者，他的一生是復雜的，在納粹當政時，他堅定地支持了愛因斯坦，資助受迫害的猶太科學家；但也曾在一戰時期簽下德國為侵占比利時辯護的《文明宣言》。而在漫長的一生中，普朗克更是遭遇過諸多不幸。對于一位人類文明史上的重要人物，普朗克的研究及其本人需要學習和解讀。《普朗克傳：身份危機與道德困境》正是這樣一本著作，本文僅節選于普朗克職業生涯的一個短暫的節點，只是眾所周知現代物理學發展的里程碑。更多的內容參見原書。
本文經授權節選自《普朗克傳：身份危機與道德困境》（新星出版社）第十章，內容有刪減，標題與文內小標為編輯所加。
撰文丨布蘭登·R.布朗（BrandonR.Brown，舊金山大學部物理學教授）
翻譯丨尹曉冬張爍
1944年7月——慶典
當普朗克術后恢復健康時，盟軍于6月5日攻占了羅馬，并于6日登陸諾曼底海灘。盡管納粹方面仍在大肆宣傳，但是多數德國人都能看到戰爭正一步步地走向終結。
7月初，馬克斯·普朗克再次穿上他曾經常穿的燕尾服，前往柏林參加一個科學慶典。普魯士科學院決定在一個暫時擺脫周遭黑暗的夜晚，舉行一次周年慶祝活動。帝國頂級物理學家、核子彈研究項目的負責人海森堡組織了這次活動。海森堡前往馬克斯·普朗克下榻的酒店，打算載普朗克等人前往宴會廳，但是眼前破敗的景象不復從前，他們兩人竟然都無法辨認出柏林的街道。在幾次問路求助后，一行人才找到正確的地點，但是他們卻以為自己再次迷路了。海森堡回憶道：“我們最后把車停在一堆瓦礫前，混凝土塊上橫七豎八地插著彎彎曲曲的鋼筋。”又一番深入打探后，他們在塵土飛揚、殘磚碎瓦里看到了一條之字形小徑，在帝國的廢墟中他們攀上爬下，才終于到了一扇敞開的大門前。走入門中，幸存下來的宴會廳生氣勃勃，如記憶里一般完好無損。當普朗克踏入宴會廳的時候，所有人都安靜下來了。海森堡說：“每個人都充滿敬意地向普朗克致意，你能清楚地看到涌向這個人的敬愛是那樣多。”“而且，你也能感受到他本人也十分高興再次看到這些熟悉的面孔。宴會廳中響起弦樂四重奏，那一兩個小時里仿佛重新回到了曾經學術鼎盛、文化悠久的柏林。在那兒，普朗克是理所當然的領袖人物。”一大群朋友和留下來的科學家歡迎了這位尊貴的客人，并為樞密顧問、教授普朗克博士在普魯士科學院就職五十周年而共同舉杯。在主桌上，馬克斯格外開心地發現他的座位就在埃爾溫旁邊。
為什么在五十年后，普朗克會成為科學界如此廣為人知的名字？他還是個年輕學生時雖然幾乎全能，卻也沒有什么格外突出的才能，他又是怎樣獲得如今這般影響力的呢？
“原子論”的支持者
盡管普朗克有著非凡的頭腦，但終究難以稱他為天才。后來他自評道：“不幸的是，我沒有被賦予對智力刺激做出迅速反應的能力。”在學生時代，普朗克從來不是班級里名列前茅的——相反，他的老師注意到了他在人際交往方面的能力。作為科學家，普朗克具備的是非同異常的專注力和無與倫比的思維嚴謹性。他在信仰的熔爐里不斷鍛造著自己的專注力。他從骨子里相信，自然是通過某種邏輯系統運作的，他不畏困難、不計后果地為揭示這種系統而獻身。
普朗克的急劇轉變發生在1894年，是年他從一位堅定卻談不上杰出的物理學家變成被莊嚴載入史冊的馬克斯·普朗克。他之前的教授與朋友亥姆霍茲提名普朗克成為柏林科學院的正式成員。亥姆霍茲稱時年36歲的馬克斯“為物理學做出了重大的貢獻”。亥姆霍茲寫道：“最為矚目的是，他在物理化學領域取得了成就，沒有像化學家那樣可悲地依賴著原子的概念。”普朗克使用純熱力學，假定只有連續物質（沒有顆粒或原子），并以紙筆計算來探討純粹的熱力學——從相變到流體導電行為的一切。直到1894年，他的整個職業生涯都在熱力學領域的研究上，尤其對熱力學第二定律和熵格外執著。
事實上，化學方面的工作與思考改變了馬克斯·普朗克的思想。不同于多數物理學家，他安靜并有條不紊地接受了“原子論”。在他的多次重要學術思想轉變中，支持原子的存在是首次重要轉變，普朗克的靈活性廣受贊譽，成為他最著名的特征之一。太多的學者深深植根于個人最愛的領域和信念里，并沉溺其中，而普朗克卻能夠追逐著陽光與最肥沃的土壤，不斷地把自己移植到更加明智的位置上。
1882年，這位年輕的物理學家仍持有一個普遍觀點。“原子論，”他說，“最終將不得不被拋棄，而物質連續性假說將得到支持。”同年，他完成了論文《汽化、熔化與升華》（Vaporization,MeltingandSublimation），指出“熱力學理論與有限原子假說不相容”。這種說法很受主流派的歡迎。盡管21世紀時人們不會對“連續物質”的概念信以為真，但在之前的幾百年里，它都通過了“取樣測試”：多數科學家認為，只要有足夠鋒利、足夠小的刀，就可以把一個微小的物體無限切割成更小的碎片。這種假說的一大優勢在于數學，因為牛頓的微積分有著至高無上的地位，尤其在用于描述連續物質時。但在1884年，瑞典化學家阿倫尼烏斯提出了用特殊方法描述電性能的突破性主張。他認為水中的原子能夠發生電離，并因此帶電。同年，雅各布斯·范特霍夫發表的《化學動力學研究》（StudiesinChemicalDynamics）同樣基于原子假設。因此，到1887年時，苦苦掙扎于這類課題的普朗克改變了自己的觀點。1890年，他給一位同事寫信說：“物理學家們別無選擇：如果他們想檢驗特定的問題，那么他們就必須接受原子與分子作為前提條件。”
1894年，馬克斯已經是正教授。晉升進入柏林科學院時，他的感覺一定好像每個夏天遠足時登上山頂那樣，他終于被體制承認了。這時，他的名聲即使還稱不上偉大，但也足以稱得上可靠。五年來，他和家人已經在柏林穩定下來。他和瑪麗迎來了兩人的最后一個孩子埃爾溫的周歲生日。柏林這座城市正逐漸被電燈的亮光與電話鈴聲所充斥。觀眾驚奇地看著奧托馬爾·安許茨（OttomarAnschütz）的無聲電影播放著運動員和騎馬的士兵的影像。柏林的富裕階層享受著新科技，還期盼著更多新玩意兒。科學講堂上前所未有地坐滿了學生。
與此同時，德國物理學經歷了突然的領導空缺。到1894年年底時，大名鼎鼎的亥姆霍茲和正當崛起的天才人物赫茲都已離世。
如前所述，馬克斯·普朗克已做好迎接新挑戰的準備。他現在正全心鉆研著暗藏了宇宙真諦的黑體輻射問題，而放眼柏林，普朗克看到了世界頂尖專家正在收集黑體測量數據，只待一個理論來解釋他們的結果。最重要的是，他發現了一個他自認為是物理學中最重要的問題：如何調和熱力學與力學。前者是他的老本行，可以定義一個時間箭頭。根據熱力學第二定律，在熵逐漸增加的過程中，一個瞬間不可逆轉地跟隨在先前的瞬間之后。但是，新的“氣體理論”——一種微觀動力學，并不符合第二定律。麥克斯韋與玻爾茲曼的統計方法是與現實的賭注——把單個粒子放在跳動的、碰撞的、旋轉的氣體分子的不同配置組態下。在這里，物理學家可以討論數以億計的微小粒子的平均量值，或者說是粒子分布的可能情況。在氣體理論下，與其說是給系統拍下快照，并由此準確記錄它的不可逆轉地進入下一個必然過程的情況，毋寧說是這個紛雜混亂的系統從A態到達B態的概率，但同時也有到達C態或D態的可能。而有時候，從A態到C態或D態會打破第二定律。1895年，玻爾茲曼寫道：“發生這種情況的概率在數學上不為0，只是概率極小。”另一方面，馬克斯對克勞修斯的觀點則十分忠誠。“那時候，我以為熵增原理是毫無例外地有效的，就像能量守恒原理一樣，”他在晚年時寫道，“而于玻爾茲曼來說，這一原理只是一個概率法則，都有例外情形。”
在專業方面，馬克斯與情緒化的玻爾茲曼的關系只是勉強維系而已。19世紀90年代初期，盡管他轉而支持原子論，但他仍然認為玻爾茲曼的許多工作成果“有過譽之嫌”。從本質上講，他認為氣體理論看起來十分令人印象深刻，但到那時為止也都不過是一陣喧嘩與騷動罷了。敏感善變的玻爾茲曼感到自己被冒犯了，而出乎馬克斯的意料，他在隨后的一次會議上公開質疑了普朗克。
拋開上述一些尷尬的互動不談，普朗克現在也被這個問題吸引住了。他如何才能使自己鐘愛的熱力學第二定律與日益成功、愈發合理的統計方法相協調呢？一方面，即使繼續深入這一困境的人寥寥可數，馬克斯仍安于這種相對默默無聞的狀態。“這是命運的古怪玩笑，”他后來寫道，“我的同事們對這個課題缺乏興趣……事實證明這成為我的福音……由于熵的概念的重要性還未得到充分理解，因此沒人會注意到我所采用的方法，在這種情況下，我就能夠悠然自得、認真徹底地去進行計算，而全然不必擔心會有任何打擾或超過我的事情發生。”
黑體輻射曲線——熱力學與新力學的完美戰場
普朗克把自己的全部注意力都轉移到了黑體輻射的神秘而普遍的曲線上，他將其視為熱力學與新力學的完美戰場。由于物體發出的光的亮度和顏色恰恰取決于溫度，所以熱力學將是關鍵。他還需要一些玻爾茲曼和麥克斯韋的新方法，黑體中的分子涉及某種統計學事實，它們的能量和振動情況不同，但卻通過某種方式產生精確的發射光光譜。打個比方，若一個擁擠的體育館里正進行著一場足球賽，如果我們想要完全了解體育場中的叫喊聲，那么物理學家可以從構建球迷座位模型起步。他給出一個球迷的統計分布，那些球迷是站著還是坐著，尖叫還是鼓掌，還有不同的音量情況，如此這位物理學家便可以開始估計我們從一定距離外聽到的聲音情況了。在這個層面上講，熱輻射光譜仿佛在嘲笑著普朗克。為什么這個光譜（叫喊聲）與黑體的材料（那座確切的體育館、地點和人群規模）無關呢？還有，為什么這些物體發射光的譜線都恰好只有一種形狀走勢，而沒有其他形狀呢？對這種普遍性的著迷把他推向了熱輻射研究。
當普朗克開始研究這個問題的時候，他第一次需要認真地直面光。如果在1894年有兩樣東西是普朗克覺得自己能夠指望的，那就是熱力學第二定律和剛剛被證實的光傳播理論了。德高望重的赫茲（普朗克先后得到的兩個職位，被優先考慮的都是赫茲）已經于1888年發表了他關于電磁波的證據，而普朗克也開始緊隨其研究工作。“親愛的同事，抱歉占用你的時間，我只有一個簡短的問題，”普朗克于1890年夏天給赫茲寫信道，“很高興讀到了你的文章《靜止物體的電動力學》（Electrodynamicsforstationarybodies）。”接著，普朗克詢問赫茲是否寫錯了一個負號，還有公式8里是否有一處印刷錯誤。“我真心希望我不會花你太多時間。”普朗克以這種嚴謹苛刻的閱讀方式而“臭名昭著”，也因此使他成為《物理學年鑒》的出色編輯。
他以自己一貫有條不紊的方法處理黑體輻射問題。最開始，與他年邁的老師基爾霍夫一樣，他構建出一個內部掏空的物體——腔體。1860年，基爾霍夫出版了原創的有關熱輻射檢測的第一篇文章。他有一種難以置信的能力，能夠吸收大量的資訊并將之轉化為透徹的、統一的總結，并把這種能力用在了物體的發射光輻射譜方面。他在自己的實驗中注意到，物體吸收光與發射光的比率與材料本身無關；他創造了“黑體”一詞（還有“灰體”一詞，用以指代不甚完美的“黑體”），還宣稱普適函數適用于熱輻射。（基爾霍夫在很早的時候就提出了熱輻射的普遍性特征，盡管沒有充分且完整的證據支持這一觀點，但時至今日這仍然是令人驚訝的。）
普朗克在計算中假定腔體是一個完美的球體，腔中完全真空，沒有雜質，甚至沒有一個氣體分子，之后整體研究腔體內部的電磁波（光），以及電磁波（光）與腔體壁的相互作用。由于腔體壁的實際材料不再重要——即上面提到的，無論它是泥漿、朱古力，抑或是金屬，其中的熱輻射情況都完全相同——普朗克就采用了最常見的物質。他假定其內表面有一系列的“諧振子”。盡管以現代人的眼光，我們可能會不自覺地去解讀普朗克諧振子的具體物理意義，但是普朗克本人很可能只是在為他的黑體理論尋求最簡單的可能的構成要素。他引用了赫茲六年前的一篇論文，從赫茲的工作中借用了電子諧振子的概念。因此，雖然赫茲諧振子具有電的特性，但是普朗克可能并不在意其真實本質的問題。有趣的是，分子振動發出輻射的想法早些年就曾有人提過（麥克斯韋曾用英文提出），但普朗克可能之前沒有看到。最終，普朗克與其他人推測，諧振子也許是電子，但是在工作甫一開始時，他并沒有寫出它們的具體物理意義。
普朗克的諧振子各自具有一個固有頻率，這就意味著每個諧振子能夠且僅能與各自對應的某一種色光作用。如果我們回到前述足球場的類比，普朗克便是假設每位球迷只能聽見并發出一種音調。與物理學中的許多初始模型一樣，這種假說對于腔體壁和對于足球迷來說都是現實的。普朗克的目的是要把抽象的電子諧振器先吸收光，再把光發射到空腔的過程建模。他以此為主題的第一次演講是在普魯士科學院進行的，題為《吸收與發射》（AbsorptionandEmission）。他希望自己計算出的最終輻射光譜能夠與觀測到的實驗測量值相匹配的同時，還能證明光譜最大化了空腔的熵，從而證實并支持熱力學第二定律。
來自玻爾茲曼的啟發
在最開始的幾年，他試圖用經典、連續的技術手段來攻克這一難題。他最初的幾篇黑體方面的論文建立了一個幾乎沒有什么復雜性的框架，但隨后的論文則逐漸增加了模型的復雜性。他旨在表明，不論是什么樣的光先充滿腔體，諧振子的活動最終會順從已經發現的黑體輻射規律。他想要揭露一種單一指向的物理學，從任意起點出發指向統一終點，這樣他就能夠解釋任意物體是怎樣產生同樣的實驗結果的。然而，自1897年年末起，有些疑慮開始縈繞在他的心頭。
“任何由普朗克教授發現的單向性，”玻爾茲曼在一則毀滅性的批評中寫道，“一定……源于他選擇了單向的初始條件。”玻爾茲曼的觀點是，普朗克嘗試著揭示出一系列統一而必然的事件這件事本身就一點也不統一。玻爾茲曼正確地發覺普朗克的理論下暗藏著另外的理論支持，其理論本身還未達成平衡和一致。大自然顯然可以在任何地方開始，并到達于同一終點。然而，普朗克的理論需要一個精心選擇的出發點，否則就會全局傾覆。一個健全的理論不應該對所謂的初始條件敏感，而且每一個起點（A、B或者C）都應該指向Z點，也就是實驗室中得出的黑體光譜。最初，普朗克對玻爾茲曼風趣又傷人的言論提出了反駁，一番唇槍舌劍后，普朗克在那一年的年底終于妥協。他不得不嘗試一些新的東西。
普朗克了解并尊重玻爾茲曼的工作，盡管在評估后者的效用時，普朗克曾頗有掙扎。當玻爾茲曼接受概率演算并將其作為自己最喜歡的工具時，19世紀90年代的多數物理學家一定震驚不已，他們還認為它是深奧的、極端的，乃至令人困惑的。但是到了1898年，普朗克對玻爾茲曼觀點的態度逐漸緩和。
那一年，普朗克采用了一種更加激進的統計學方法來解決熱輻射問題，計算可能的共振頻率（和相應色光）的整個光譜的平均值。他引入了“自然輻射”（naturalradiation）的概念，把玻爾茲曼在其第一篇氣體理論論文中提到的“分子無序”（moleculardisorder）概念引入電磁學中。普朗克1899年的一篇論文宣布了徹底的投降，在這篇總結性文章中，他坦率地承認，玻爾茲曼和氣體理論為理解神圣的熵和熱力學第二定律提供了最佳路徑。
與此同時，柏林的物理實驗室里也出了些差錯。幾年來，黑體輻射在經驗實證方面一直還算平靜，無甚波瀾。1896年，維恩（普朗克的朋友，后來二人一同在《物理學年鑒》做編輯）構建了一個符合所有黑體實驗數據的公式。大多數物理學家接受了維恩的公式，即使不是作為福音般的真理，也把它當作了一種對事實的經驗近似。然而在1899年，在較長波段（比如紅外光）的測量新方法浮現出來，而測量結果卻偏離了維恩的預測。熾熱的空腔中發出的紅外光強度超出預想，所以維恩公式顯然不是大自然所采用的那個。新實驗將研究深入到紅外領域，1899年和1990年中，每隔幾個月，普朗克位于柏林的辦公桌上就會擺上最新的結果。普朗克開始思考一種新的經驗擬合用以取代他朋友的公式。多年以來，他想要從頭開始建立一個全新的理論，卻屢受挫折。于是，他決定回溯前人的工作。如果他能夠憑直覺得出正確的自然熱輻射公式，那將為他探尋基本物理學的方向提供一個精確的指南針。
持續幾周的動蕩終于把他帶到了突破的面前。1900年的秋季見證了兩位德國“威廉”的離世。8月，在工人領袖威廉·李卜克內西去世后，超過10萬名工人在柏林的街道舉行了莊嚴的默哀游行活動，工人階級自此出現。即使在皇帝譴責李卜克內西是德國公敵的情況下，這次被稱為“沉默鋼鐵”（ironsilence）的游行仍冷卻了這座城市，且令當時巨大的階級分化浮現出來。及至9月，另一位與馬克斯關系密切的“威廉”也去世了，他就是馬克斯的父親，在慕尼黑去世。
在慕尼黑料理完喪事以后，普朗克回到柏林繼續他安排得滿滿的講課。在他父親剛剛去世的幾周里，普朗克的頭腦中頓悟閃現。這次靈感突現是發生在他回到柏林的辦公室路上？是在一次講課的時候？甚至是在他自慕尼黑回柏林的火車上？不論哪種情況，總之普朗克清晰地看到了大自然一直以來渴望揭示的數學形式。這種優雅的形式打動了他，他寫出了一個新的公式，似乎可以避免維恩早先猜想中出現的問題。10月19日，馬克斯在德國物理學會的例會上簡要介紹了他的成果。他的發言不在會議安排之內，而是在最后的“討論與評述”環節。他的口頭評論僅僅占了兩頁多一點的篇幅。他承認：“我終于開始構造任意諧振子的熵的表達式了。”他隨后給在場人員寫下了自己的結果，他說：“就我現下所知，（這一公式）令人滿意地符合目前已經發表的觀測數據，是當前已有的最佳光譜公式。”該公示如下圖所示：
該公式精確地給出了在溫度T下黑體在波長λ處測得的輻射能量E（因此也給出了輻射強度）。大寫的C和小寫的c只是為了令公式符合測量數據而加上的常數。這類常數是由物理學使用數學工具擬合數據時所做的度量。普朗克知道，終有一日，自己必須給C和c真正賦值。
他的觀眾對此作何反應？據推測，只有一小部分真正對此感興趣的群體（如實驗家普林斯海姆、庫爾鮑姆和魯本斯）在他們的筆記本上記下了這個新公式。第二天一早，魯本斯興高采烈地出現在普朗克家門口，手里拿著幾張從他實驗室里測得的結果。他所有的測量，包括最新的紅外測量值，全部符合普朗克的新曲線，宛如串在一根細線上的珠子。魯本斯確信普朗克已經發現了大自然中熱的規律。
其他同事則沒有那么信服。維恩在遠方聽說了這次演講，寫信說他不想冒犯誰，但是新的公式無疑是個嚴重的錯誤。普朗克回復他說，自己確信他們二人可以解決分歧，而且維恩在該領域的功績會在之后的日子里逐漸顯現與提高，而不是消泯。他提議二人在圣誕假期見上一面。
量子還是經典？
與此同時，普朗克現在面臨著一個價值百萬德國馬克的疑問：這個令人愉悅的公式從何而來？他后來寫道，他的新公式是“僅憑一點幸運的直覺靈感帶來的永恒定律”，“從闡明這條定律的那一天，我便開始致力于賦予它真正的物理意義”。他開始著手尋求一個方式，通過在物理學原理上的追根溯源來證明這個新的公式。他必須將自己的猜想轉變為一個真正的理論觀點。
“在我經過一生中最緊張的幾個星期的工作后，黑暗漸退，一番之前未曾預見的景致開始出現。”普朗克認識到，自己若想在正確的道路上繼續前行，就需要借助玻爾茲曼的統計方法。普朗克從玻爾茲曼一篇相對較早的論文——1877年的《熱力學第二定律與概率論的聯系》（OntheRelationbetweentheSecondLawofThermodynamicsandtheTheoryofProbability）中，推出了關鍵的數學部分。在《熱力學第二定律與概率論的聯系》中，玻爾茲曼利用組合數學的方法，列舉了氣體分子群可能的結構。組合數學的方法即研究大量物質（氣體分子、襪子、排球運動員及撲克牌，等等）一切排列組合的可能方式。組合數學是離散數學的一個分支，與普朗克的故事有著莫大的關系，都是研究單個、分離的物體，如分子、彈珠等。這類數學與從熱腔中發出的連續光波沒什么關系，真的嗎？馬克斯孤注一擲，認為只有組合數學能夠引出他的新公式。
1900年12月，他提出了自己的新證據和新理論。從歷史上看，物理學家認為這標志著量子論的誕生。據報道，他的聽眾對此不以為意，他們很難跟上普朗克的思路，穿過他那嶄新的數學之林。為了得到這個“十月等式”，馬克斯把諧振子的能量劃分為相等的小份額：“無論如何，我們采取這種看法——并且這是整個計算中最重要的一點——認為（能量）E是由一些完全確定的、有限而又相等的部分組成。”一旦他把諧振子的能量當作一組襪子、卡片或分子這樣分離的物體來處理，那就能用1877年玻爾茲曼的方法，在一條康莊大道上，向新的黑體公式進軍。
但是，新的“關鍵一步”是激進的、徹徹底底的、翻天覆地的，這是第一次有人想要用如此堅韌不拔的方式對待神圣的能量。正如一些更加進步的物理學家提出物質（原子）與電（電荷）都是“塊狀的”，普朗克也主張存在類似的能量粒度（granularity）。1900年，他沒有將其稱作一個新的物理學類型——他甚至沒有用到“量子”（quantum）一詞。他后來說這歷史性的一步是“純粹是一個形式上的假設，我實際上并沒有對它想得太多，只是想到，要不惜任何代價得出一個積極的成果來”。
普朗克認為自己已經成功地保留了經典物理學，并解決了黑體輻射的謎團。可以肯定他十分振奮，他能看到這個成功，但沒有任何跡象表明他嗅到了他點燃的變革的火焰。在三十年內，量子物理學將會完全改寫我們對于光和物質的認知，這樣的新知大多出自愛因斯坦、尼爾斯·玻爾及海森堡等人的筆下。然而在那段時期，普朗克大多扮演著一個憂心忡忡的大家長角色，要所有人都慢下腳步，務必謹慎。
如今，我們知道普朗克的推導本身是有缺陷存在的，不是因為他假設了分立的能量，而是他對分立能量存在性的論述方面。沒有路徑是從經典物理學徑直通向精確的黑體光譜的。年輕一輩的物理學家，如愛因斯坦和保羅·埃倫費斯特，率先懷疑并批判了普朗克的黑體數學，而當普朗克最后回到這個問題的時候，他換了一種新的推導方法。他在1911年至1913年之間發表了相關論文，稱這種方法為“第二理論”。在這里，他仍舊希望避免新的量子觀點滲入美麗而連續的光波中。
回顧看來，1900年將成為普朗克和新物理學的巔峰時期。后來，埃爾溫回憶起一個深秋時節他們父子二人在花園散步。他說，父親悄悄對7歲的兒子宣布了他的一個科學突破。馬克斯稱他最近的工作將成為物理學最偉大的發現。27在埃爾溫的敘述中，普朗克不再是我們所熟悉的普朗克個性形象，也少了些謙遜：也許是埃爾溫的遙遠兒時記憶隨時間流逝產生了模糊扭曲。但更可能是馬克斯只許這樣的浮華言辭流入自己兒子的耳朵里。即便如此，現存的信件里也沒有什么自我吹噓的詞句。他的工作里，只有一項能夠令他如此自信而興奮。在推導新公式的過程中，普朗克闡釋了兩個基本常數：k和h。前者被稱作玻爾茲曼常數，后者幾乎立刻就被命名為普朗克常數。