新年檔期，皮克斯工作室參與制作的動畫電影《心靈奇旅》成了朋友圈的熱門話題，豆瓣網友更是毫不吝嗇地給出了8.9的高分，踴躍貢獻14萬+條短評。
除了立意新、歌好聽，同樣經常被觀眾提起的，是圓潤光滑的人物形象和絲絲入扣的細節效果。精致的畫面，已經成了皮克斯工作室的標簽之一，
《心靈奇旅》劇照（圖源Disney+）
早在1994年，皮克斯工作室就制作了《玩具總動員》（Toy Story），一經上映便引起電影界的強烈震動。作為影史首部完全使用電腦動畫技術的動畫長片，《玩具總動員》制造出完全不同于傳統手繪動畫的立體觀感，成為了無數觀眾心中的動畫電影里程碑，當然也成了皮克斯工作室最閃亮的名片，
《玩具總動員》劇照（圖源movie-empire）
計算機是如何模擬人手創造出立體逼真的動畫形象的呢？
答案可能會令你意想不到——微積分，
無窮之“罪”
相信每一位國小數學老師都曾這樣提醒過剛學習除法的我們：0一定不可以作為除數，因為沒有數乘以零會得出非零數。我們從此將其奉為圭臬。
可真的如此嗎？
在實無窮條件下，如果一個無限接近0的數被累計無窮次，結果可以等于任何數，
微積分，便是把復雜的問題分解為無窮個小問題（微分），再將它們組合在一起（積分），組合多少次呢？無窮次。
“無窮”是一個奇妙的封印，數學家史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）在著作《微積分的力量》中將無窮稱作“被通靈術召喚的靈魂”，這可不是恭維，例如，如果一段很短的線段被分為實無窮段，則每一段的長度為0，亞里士多德認為這會招致謬論，所以，他不允許在數學和哲學中使用實無窮，只能使用潛無窮，在接下來的2200年里，他的這條“法令”得到了數學家的支持，
在史前時期的黑暗角落里，有人意識到數字是無盡的，伴隨著這樣的想法，無窮誕生了，它是我們心靈深處、無底噩夢和永生愿望中的某些東西的數字對應物，無窮也是我們的很多夢想、恐懼和未解之謎的核心：宇宙有多大？永遠是多久？上帝有多強大？幾千年來，在人類思想的每一個分支，從宗教、哲學、科學到數學，無窮一直困擾著世界上最優秀的大腦，始終被視為一個危險的概念。
《微積分的力量》
中信出版社·鸚鵡螺
2021年1月
而正如《微積分的力量》的引文原書名Infinite Powers（可直譯為“無窮的力量”）所暗示的，無窮擁有力量，但只有在被“馴化”后才能夠發揮它驚人而奇妙的能量，這種“馴化”實則是一場壯麗的天才接力，在書中，斯托加茨本人成了一位優雅從容的引路者，將天才們的生命之鏈徐徐展開。
“我們之后的世代”
如何用素描技法畫出一個圓？首先要畫一個方形，再將它一步步切成多邊形，邊越多，看起來越像一個完美的圓。
阿基米德運用了類似的思路計算圓周率，但圓并不是由直線組成的，而是由彎曲的弧組成的。當我們用直線來代替每一段弧時，就相當于走了點兒捷徑，因此，近似值肯定小于圓形路徑的實際長度，但至少在理論上，通過走足夠多的步數，并且每一步的步長足夠短，我們就可以盡可能精確地估算出圓形路徑的長度，
阿基米德從由6條線組成的路徑開始，6是一個非常小的步數，六邊形顯然也不太像一個圓，但對阿基米德來說一切才剛開始。當從六邊形中得出結論之后，他縮短了步長，并將步數翻倍，他的做法是，繞路到每段弧的中點處，用兩小步取代之前的橫跨弧的一大步。
之后他不斷重復這一做法。從6步到12 步，24 步、48 步、96 步，并以令人頭痛不已的精密度算出了這些不斷縮小的步長。
阿基米德徒步切圓示意圖
（圖源《微積分的力量》：駕馭無窮的勇士）
無論是在邏輯上還是在算術上，阿基米德計算π值的行為都堪稱壯舉。借助圓內接96邊形和圓外接96邊形，他最終證明π大于3 + 10/71 而小于3 + 10/70。
人們崇拜阿基米德，是因為他在自己的論著中做了鮮有天才會做的事情：邀請我們參與其中，向我們展示他是如何思考的。他冒著受到攻擊的風險，分享了自己的直覺，希望未來的數學家也能夠用它去解決他不理解的問題，今天，這個秘訣被稱為阿基米德方法。
阿基米德方法復寫本
（圖源：top.zhan.com）
阿基米德坦承，盡管他的方法“并沒有真正證明”他感興趣的結果，但他提出了自己的希望：
“在現在和未來的幾個世代中，某些人會利用這種方法，找到我們尚未掌握的其他定理。”
這位無與倫比的天才在數學的無限性面前感到了自己生命的有限性，他認識到還有很多事情要做，所有數學家都有這樣的感覺，我們的研究課題永無止境，就連阿基米德本人也要俯首稱臣。
阿基米德的遺產直到今天仍然熠熠生輝，《玩具總動員》中的角色之所以看起來栩栩如生，部分原因在于它們體現了阿基米德的一個洞見：任何平滑表面都可以令人信服地用三角形來逼近。我們使用的三角形越小和越多，逼近效果就越好，這一思路一直持續到制作《心靈奇旅》的今天，
阿基米德之后1800年，伽利略和開普勒將目光望向宇宙，如果沒有他們，我們或許還不知全球定位系統和航天器為何物。微積分故事中的關鍵時刻出現在17世紀中葉，曲線之謎、運動之謎和變化之謎在二維網格——費馬和笛卡兒的xy平面——上發生了碰撞。我們今天已經對他們創造出的坐標軸習以為常了。
開普勒的天體運行模型
（《微積分的力量》：運動定律的探索之旅）
到了下一代，在費馬、笛卡兒、伽利略和開普勒的研究成果的基礎之上，英國的牛頓和德國的萊布尼茨徹底改變了數學的進程。他們把關于運動和曲線的思想松散地拼湊在一起，創立了微積分，
1673年，當萊布尼茨引入“微積分”一詞時，他的原話是“a calculus”（一個微積分），有時還會更親切地稱它為“my calculus”（我的微積分）。遺憾的是，現在它的冠詞和所有格全都消失了，只剩下單調蒼白的“calculus”，
撇開冠詞不談，calculus這個詞本身就有很多故事。它源自拉丁詞根calx，意指一塊小石頭，醫生也會用這個詞來指代結石，諷刺的是，牛頓和萊布尼茨這兩位微積分先驅都死于給他們造成極大痛苦的結石：牛頓患有膀胱結石，而萊布尼茨患有腎結石，
牛頓和萊布尼茨通過兩條不同的途徑各自得出了微積分基本定理，牛頓的方法是思考運動與流動問題，也就是數學連續性的一面，而萊布尼茨的方法正相反，盡管他是一個未受過正規訓練的數學家，但他年輕時花了些時間思考離散數學問題，比如整數與計數、組合與排列，以及分數與特定類型的和，
比如，經典的惠更斯謎題：
如果你看不出其中的技巧，它就是一個冗長而直接的計算過程，只要有足夠的耐心（或者一臺計算機），我們就可以逐一地加總這99項，而萊布尼茨的簡潔解法很快就指引他得出了自己的核心定理，
假設一個人正在爬一段很長且不太規則的樓梯，如果攀登者想測量從樓梯底部到頂部的垂直高度，他如何才能做到呢？把每個臺階的垂直高度全部加起來，這種毫無創意的方法和前文中提到的把99項逐一加起來求S的做法是一樣的，這樣做雖然沒什么問題，但因為樓梯太不規則了，所以算起來會很麻煩。
更好的方法就是使用高度計。如果圖中的攀登者有一個高度計，他就可以用樓梯頂部的高度減去樓梯底部的高度來解決這個問題，不管樓梯有多么不規則，這個方法都行之有效。
我們要把這個算式的每一項都改寫成兩個數字之差的形式，這就好比每個臺階的垂直高度等于它的頂部高度減去底部高度。第一個“臺階”可改寫為：
同樣地，我們可以把S中的其他項都改寫成連續單位分數之差的形式：
當我們把所有這些連續單位分數之差加總時，S 就會變為：
所以，結果是：
萊布尼茨意識到，他可以用同樣的技巧計算任意多項分數的和，如果求和算式包含N項而不是99項，那么結果將是：
這樣一來，惠更斯的無窮級數求和問題的答案就變得很清楚了：當N趨于無窮時，1/(N + 1)會趨于0，S則會趨于1。所以，極限值1就是惠更斯謎題的答案。
這一切就是萊布尼茨版本的反向問題和微積分基本定理，正如他說的那樣，“求圖形面積的運算過程可以簡化為：已知一個級數，去求和；或者已知一個級數，去找另一個級數，后者的連續數之差與前者的各項一致，”就這樣，差與伸縮和引導萊布尼茨創立了微分和積分，并得出了基本定理，正如流數術與擴張的面積引領牛頓到達同一個隱秘源泉一樣。
思維的虛構產物
盡管微分是思維的虛構產物，但自從萊布尼茨發明微分以來，它們就以非虛構的方式深刻地影響著我們的世界、社會和生活，
通常情況下，微積分都是在我們日常生活的背后默默地發揮著作用。就GPS而言，這個系統的幾乎所有功能都取決于微積分。
想想衛星和接收器之間的無線通信，通過麥克斯韋所做的研究，微積分預言了電磁波的存在，從而使無線通信成為可能，所以，沒有微積分，就不會有無線通信和GPS。同樣地，GPS衛星上的原子鐘利用的是銫原子的量子力學振動，而微積分是量子力學方程及其求解方法的基礎，所以，沒有微積分，就不會有原子鐘。
微積分還是計算衛星軌道和控制衛星位置的數學方法的基礎，當原子鐘高速運動或在弱引力場中運動時，微積分也是把愛因斯坦的相對論改正與原子鐘時間結合在一起的數學方法的基礎，但我希望把重點說清楚，微積分為很多使GPS成為可能的技術研發創造了條件，當然，微積分并不能獨立做到這一切。盡管它是一個配角，卻是一個重要的配角。和電氣工程學、量子物理學、航空航天工程學等學科一樣，微積分也是這個團隊中不可或缺的一部分，
微積分是用于研究任何事物的想法與方法的龐雜集合，這些事物的變化平穩而連續，符合無窮原則，該定義的范疇囊括了牛-萊的微積分理論及其子孫后代：多變量微積分，常微分方程，偏微分方程，傅里葉分析，復分析，以及高等數學中涉及極限、導數和積分的所有其他分支，
由此可見，微積分還沒有完結，它和以前一樣求知若渴。從阿基米德后的世代，到我們之后的世代，走向無窮，
《紐約時報》暢銷書
提名2019年度英國皇家學會科學圖書獎
《微積分的力量》
理查德·費曼說過:“你最好學學微積分，它是上帝的語言，”
如果有什么東西稱得上宇宙的奧秘，那么非微積分莫屬，微積分是人類歷史上的偉大思想成就之一，也是數學領域不可或缺的一個重要分支，除此之外，我們更應該關注的事實是：如果沒有微積分，人類就不可能發明電視、微波爐、移動電話、GPS、激光視力矯正手術、孕婦超聲檢查，也不可能發現冥王星、破解人類基因組、治療艾滋病，以及弄明白如何把5 000首歌曲裝進口袋里，
我們存在的方式，都是拜微積分所賜。
作者簡介
史蒂夫•斯托加茨
Steven Strogatz
♠康奈爾大學部應用數學系教授，研究文章主要發表在《自然》《科學》《科學美國人》《新聞周刊》《紐約客》《發現》《美國科學家》等主流媒體上。
♦美國國家科學基金會頒發的“美國總統獎”得主，2012年當選美國文理科學院院士，當選為其院士一直被視為美國的最高榮譽之一，
♣著有《X的奇幻之旅》，該書獲得2014年度的“歐拉圖書獎”，TED演講者，也是美國科普電臺、《科學星期五》的主要嘉賓。
圖書評價
如果微積分是宇宙的語言，史蒂夫·斯托加茨就是荷馬，憑借著他的激情、洞察力和質樸，斯托加茨解釋了人類諸多偉大的智力成果背后的深刻思想。這本書讀起來令人心生愉悅，
——丹尼爾·吉爾伯特，《哈佛幸福課》作者
高能預警：這是一本“危險”的書，它會讓你愛上數學，甚至有可能把你變成一位數學家，
——納西姆·尼古拉斯·塔勒布，《黑天鵝》作者
斯托加茨是了不起的數學家，也是了不起的科學作家。他出色地將深奧的微積分知識打造成一部史詩般的大片，深入淺出地講述了微積分如何改變了世界的故事，當然，這個故事還在繼續。
——亞歷克斯·貝洛斯，《迷人的邏輯題》作者
