前天發了下面這道題,結果有人硬生生做出了恐怖片的驚悚感!到底是怎么回事?我們不妨一起慢慢看。
題目是這樣的:
四(3)班的每個同學至少都喜歡語文、數學或英語中的一門課,喜歡語文的有30人,喜歡數學的有36人,喜歡英語的有28人,同時喜歡語文和數學的有24人,同時喜歡語文和英語的有20人,同時喜歡數學和英語的有18人,三門課都喜歡的有8人,請問四(3)班一共有多少人?
我當時說,學過公式的同學很快就能根據容斥原理公式算出結果:
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
=30+36+28-24-20-18+8
=40
但問題是,這個解答到底對不對呢?當時我歡迎大家在留言區討論。于是群里和留言區就有各種有意思的討論,
(本文轉載自wx:昍爸說數學與計算思維)
一開始爭論比較多的是:最后應加1個8還是2個8?
有人認為應該加2個8,答案是48,但事實上,這個公式并沒錯,是容斥原理的標準公式。
到底|A∩B∩C|最后要加幾次,可以這么來看,
屬于A∩B∩C的人在A、B、C中都各出現了一次,因此計算|A|+|B|+|C|時,A∩B∩C的人數計算了3次,
同樣,屬于A∩B∩C的人在A∩B、B∩C、A∩C中也各出現了一次,因此計算|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|時,A∩B∩C的人數也計算了3次。
兩者一減,最后A∩B∩C的人被減沒了,因此最后要再加上1個|A∩B∩C|。
下面這條留言者一定是之前被另一個坑傷害過,也就是有的題目沒有明確說每個人都至少喜歡三門課里的一門。因此,他瞪大眼睛仔細看了又看,發現沒問題后寫下了這條留言。
上面所說的坑,可以通過以下兩個問題的例子加以說明:
四(3)班的每個同學至少都喜歡語文和數學中的一門課,喜歡語文的有30人,喜歡數學的有36人,語文和數學都喜歡的有26人,請問四(3)班一共有多少人?
四(3)班的所有同學中,喜歡語文的有30人,喜歡數學的有36人,語文和數學都喜歡的有26人,請問四(3)班一共有多少人?
乍一看,很多人會說:這兩個問題不是一樣的嗎?但,真的一樣嗎?
也有不少人說不懂容斥原理的公式,只會畫圖,但畫完圖卻發現了其中的問題。
事實上,沒學公式直接畫圖能發現這個題目存在的問題。最直觀的是韋恩圖,如下,
畫完上面的圖后,發現只喜歡語文和只喜歡英語的沒法填了,因為,16+8+12=36已經超過喜歡語文的總人數30人了,同樣12+8+10=30也大于喜歡英語的總人數28人了。
因此,問題在于這個題目出錯了!
不少人確實最后發現了這個題目的錯誤,但我們發現,如果只用容斥原理的公式,是察覺不了這個錯誤的,
我的本意其實就是這個,即不要只記公式,有的時候只記公式會遮住真相,
可是,留言區卻開始變得驚悚起來:
一道錯誤的數學題,硬生生被做出了恐怖片的驚悚感!
那怎樣才能確保出的題目不被解讀成恐怖片呢?下面的這條留言應該能說明問題,
也就是說,我們可以先算出喜歡數學,但同時又喜歡語文和英語中至少一門的人數,然后出題時要確保喜歡數學的人數不小于這個數才行,英語和語文同樣處理。否則,就會出現所謂“不存在的人”。
我編輯了一下,加入轉載資訊了。
轉了別人的帖子都不注明,這樣不太好吧!
太高級了看不懂
轉載資訊在哪??
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