數學故事：“我已經說了無數次了”

這是一座普通城市的普通中學的一堂普通的國中英語課，但卻是費曉馬最不喜歡的課程，費曉馬本來就對英語不感興趣，偏又遇上一個脾氣古怪，整天板著臉的中年女英語老師，這天的英語課教的是序數詞，費曉馬例性地想心事，根本沒在聽。

英語老師看費曉馬走神了，直接讓他回答問題：“費曉馬，請你中譯英這句話：我上次考試得了第一名”？費小馬條件反射地站了起來，一詞一頓地說：“啊，I am first in last exam……”。

還沒等費曉馬說完，老師直接打斷了他：“我已經說過無數次了，序數詞前要加定冠詞‘the’，the first……你還要我說幾遍啊！回去把今天的例句抄10遍！”

費曉馬沮喪地坐了下來，心想：這堂課趕緊過去吧，腦子又開始放空，開始思考一些數學題來，費曉馬很喜歡數學，綽號”小費馬”，數學是他最喜歡的科目，

想著想著，忽然不知不覺中，英語老師不見了，數學老師站在講臺上，好像數學課開始了，

數學老師是費曉馬最喜歡的李老師，年輕，舉止文雅，談吐幽默，很能跟學生打成一片，這時李老師提問了：“上一堂課我們教‘遞歸’概念的時候，講了個有“遞歸”的故事，誰還記得那個故事？”

費曉馬在數學課上最積極了，馬上站了起來，說：老師，我記得。那個故事是這樣的，從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚和小和尚，有一天，老和尚對小和尚說：從年有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚和小和尚……就這么下去，老和尚和小和尚的故事怎么也說不完”，

“很正確!”，李老師追問：“那么費曉馬，如果你是故事里最里面的那個老和尚，你會怎么終結故事呢？”

費曉馬不假思索地說：“那個老和尚對小和尚說：‘這個故事，我已經說了無數次了啊！’” 聽到費曉馬說出了英語老師的口頭禪，教室里哄堂大笑，

李老師也笑了，說：“你為什么認為‘我已經說了無數次了’這句話可以終結這個故事呢？”

費曉馬說：“無數次嘛，就表示后面還可以說很多很多次，但都省略不說了，所以就用無數次概括了。但是，沒有人真的可以說無數多次，所以這樣說大概不太對”，

李老師微微一笑，推了一下眼鏡，說：“其實，‘我已經說了無數次’， 這句話也并非沒有完全意義，如果我們把這句話用序數來理解的的話。”

費曉馬一下子緊張了：“老師，這不會跟英語里的序數詞有啥關聯吧？”

李老師說：“費曉馬，你不用怕英語到這程度吧。別怕，不考你英語，我們就看看能不能賦予’我已經說了無數次’，這句話一點意義，但會牽扯到數學里的序數概念，你看，如果我們把‘無數次’算作一個數字的話，那‘我已經說了無數次’這句話，就跟我們平時說的，‘我已經說了一百次，一千次’一樣，都是有意義的，”

“但是老師，‘無數次’到底算是一個什么數字呢”？

李老師說：“比任何自然數都大的一個數！我知道這很難理解，但這是數學里很有意思的地方，因為它是一個可以與‘無窮大’打交道的學科。

“比全體自然數大，這句話確實無法理解，因為在常規的大和小的意義下，這句話是不對的。但數學里有其他比大小的方法，比如集合中的包含和子集，一個集合里的元素完全可以是無窮多的，它也可以包含其他有無窮多個元素的集合，沒有問題。”

費曉馬似懂非懂的問：“這跟‘無數次’有什么關系嗎’？

李老師說：“有啊，你可以這樣理解：

“我已經說了n次” 這句話，相當于‘我說：“我已經說了n-1次了”’，你看，這是不是很像一個集合包含了另一個集合，也有點像遞歸？”

“對”，很多學生同時答到，

“那我們我再定義：‘我已經說了無數次了’，這句話描述了一個集合，其中包含了所有的‘我說了n次’的情況，n可以是任何的自然數，這樣，‘我已經說了無數次了’，這句話不就有意義了嗎？

費曉馬思索了一下，困惑的說：老師，這樣真有什么意義嗎？‘說了n多次，無數次’，這種話，我們平時開開玩笑而已，數學里有什么用嗎？”

李老師說：“現在看確實沒啥用，但是如果我們能在‘無數次說’了之后，再‘說一次’，那就有意思了，”

“無數次之后再說一次？”費曉馬更困惑了。

李老師暗下一樂，說：“既然我們在說集合，并且一個集合包含另一個集合，就表示前者更大，那我們只要定義一個集合，包含了‘我說了無數次’這個集合就可以了，你們想下這句話：‘我說：我已經說了無數次了’，那么你們覺得我一共說了幾次呢？”

“難道是無數次加一？”，費曉馬問？

李老師說：“對啊，根據我們之前集合遞歸包含的規則，這就是無數次加一次啊，記住，我們現在就可以把‘無數次’當作一個數字來處理，雖然它的本質是全體自然數構成的集合。另外要記住一點，現在的加法是沒有交換律的，比如‘1+無數次’就不等于‘無數次+1’，費曉馬你說說看為什么這樣？”

費曉馬開始思考起來，說：“‘我說了1+無數次’，那就相當于我先說了一次，然后又說：‘我說了無數次’；但是‘無數次’里包含了那一次，所以總體只說了‘無數次’。但是，這句話：‘我說：我已經說了無數次了’，根據我們遞歸規則，外面這次確實包含了里面的那句話，所以相當于說了‘無數次+1’次。”

李老師對費曉馬相當滿意，說：“太對了，你要記住，現在的討論里，次序會很重要，因為我們牽涉到無窮這個概念，”

費曉馬一下子來勁了，繼續思考：“對啊，不管你先說了多少次，后面如果說了無數次，那么總數上還是無數次啊，次序換過來就不一樣了，那么老師，這樣看的話，這句話：‘我說，“我說：我已經說了無數次”’這句話，就是我說了無數次+2次吧。”

李老師答復：“對。”

“那么這句話：‘我已經說了無數次：我已經說了無數次’，這句話算說了幾次呢？”，費曉馬拋出了他真正想問的問題，

李老師也早有準備：“那我們需要返回之前的定義，之前我們只定義了：’我說了：我已經說了n次‘，這句話的含義，其結果相當于說了n+1次。但是沒有定義這種句式：‘我說了p次：我已經說了q次’，現在需要定義一下這種句式的含義。

根據我們日常經驗：‘我已經說了兩次：這事我已經說了三次了’。總體上是不是感覺說了六次。那么之前那句話，我們就可以定義成乘法關系，‘我說了p次：我已經說了q次’，這句話總體上就是說了q乘以p次，”

“那么‘我已經說了2次：我已經說了無數次’ 就是我已經說了2倍的無數次！”。費曉馬忍不住插了一句。

李老師微微點頭，繼續說：“但要注意，一旦涉及到‘無數次’，次序又變得重要起來。比如‘我已經說了無數次：我說了兩次了’。這句話，總的次數應該寫成2乘以無數次，但結果仍然是無數次。因為說再多的‘兩次’，最終也會被外面的‘無數次’覆蓋了，超不過‘無數次’，

但是，’我已經說了兩次：我說了無數次了‘，這句話確實是‘我已經說了無數次乘以2次’，就是兩倍于無數次，而‘兩倍于無數次’確實比‘無數次’大，所以我們這里，乘法交換律也不成立，這一點需要注意。”

費曉馬頓有所悟，有點興奮得說：“那老師，這樣看來，‘我說了無數次：我已經說了無數次’，這句話就應該是‘無數次’乘以‘無數次’，等于‘無數次的平方次’了吧？”

“對啊，簡單吧，那之后你還可以繼續……”

沒等李老師說完，費曉馬迫不及待的說：“那還可以有無數次的3次方，無數次的4次方，以至于無數次的無數次方對吧…..”

剛到這里，費曉馬忽然又聽到一個不想聽到聲音：“費曉馬，你上課又打瞌睡了，你告訴我，我剛才說了啥？”

啊，原來還是英語課啊，費曉馬迷迷糊糊地的，也不知道哪來的勇氣：“老師，你剛才說，你已經說了無數次了，但你其實已經說過了無數次‘我已經說了無數次了’！”。

課堂里一陣哄笑，費曉馬這次真的醒了過來。原來現在只是早上，費曉馬還躺在自己的床上。

費曉馬心想：“還好只是夢啊，都怪我昨天睡前聽大老李講序數，做了這么一個夢中夢。不過以后我知道原來’我說了無數次’這句話還是有意義的啊，”想到這，費曉馬似乎覺得英語老師的這句口頭禪也不是那么討厭了，

(未完，續不續看反響……)